Готовые Домашние Задания

Рефераты по теме Маркетинг

Реферат Кривые и поверхности второго порядка

Скачать реферат↓ [578.39 KB]



Текст реферата Кривые и поверхности второго порядка

ЭЛЛИПС.
Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма ра с
стояний от двух фиксированных точек плоскости, наз ы ваемых фокусами,
есть постоянная величина; требуется, чтобы эта постоянная была больше
ра с стояния между фокусами. Фокусы э л липса принято обозначать через
F 1 и F 2.
Пусть М — произвольная точка эллипса с фокусами F 1 и F 2.
Отрезки F 1 М и F 2 М (так же как и длины этих отрезков) называются
фокальными радиусами точки М. Постоянную сумму ф о кальных радиусов
точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для л ю бой
точки М эллипса имеем:
F 1 М + F 2 М = 2а.
Расстояние F 1 и F 2 между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан
какойнибудь эллипс с ф о кусами F 1 , F 2.
Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты
через х и у. Обозначим, далее, через r 1 и r 2 расстояния от точки М
до фокусов ( r 1 = F 1 М, r 2 = F 2 М ). Точка М будет находиться на
данном э л липсе в том и только в том случае, когда
r 1 + r 2 = 2а.
Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить
переменные r 1 и r 2 их выр а жениями через коо р динаты х, у.
Заметим, что так как F 1 F 2 = 2с и так как фокусы F 1 и F 2
расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то
они имеют соответственно координаты (— с; 0) и (+с; 0); приняв
это во внимание н а ходим
Заменяя r 1 и r 2 , получаем
Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему
удовлетворяют координаты точки
М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведём обе части
равенства в квадрат, получим
или
Возводя в квадрат обе части последнего равенства, на й дем:
а 2 х 2 — 2а 2 сх + а 2 с 2 + а 2 у 2 = а 4 — 2а 2 сх + с
2 х 2 ,
откуда
(а 2 — с 2 )х 2 + а 2 у 2 = а 2 (а 2 — с 2 ).
Здесь мы введем в рассмотрение н о вую величину
;
а > с, следовательно, а 2 — с 2 > 0 и величина b —
веществе н на.
b 2 = a 2 — c 2 ,
тогда
b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ,
или
.
Это уравнение называется каноническим уравнением э л липса.
Уравнение
,
определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных
координат, есть уравн е ние второй степени; таким образом, эллипс есть
линия второго поря д ка.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между
фокусами этого элли п са к длине его большой оси; обозначив
эксцентриситет буквой е, п о лучаем:
.
Так как с < a , то е < 1, т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше
единицы.
Заметим, что c 2 = a 2 — b 2 ; поэтому
;
отсюда
и
Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а
отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким
образом, эксцентриситет характериз у ет форму эллипса. Чем ближе
эксцентриситет к единице, тем меньше 1— е 2 , тем меньше, след о
вательно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более
эллипс вытянут. В случае окружности b = a и е=0.
Рассмотрим какойнибудь эллипс и введем декартову