Готовые Домашние Задания

Рефераты по теме Маркетинг

Реферат "Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц"

Скачать реферат↓ [90.47 KB]



Текст реферата "Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц"

Министерство Образования Российской Федерации
Марийский Государственный Технический Университет
Кафедра Высшей математики
Расчетнографическая работа
По дисциплине “Вычислительная математика”
на тему:
"Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц"
Выполнил : студент гр. МИЭ 31
Веприков Д.О.
Проверил : доцент каф. ВМ
Пайзерова Ф. А.
Йошкар Ола, 2001г.
Содержание.
1 Собственные значения и собственные векторы. 3
1.1 Математическое обоснование метода. 3
1.2 Метод итераций. 5
1.3 Метод ЛеверрьеФаддеева. 6
1.3.1 Основные пункты алгоритма метода ЛеверрьеФаддеева. 7
1.4 Численное решение задачи нахождения собственных значений
матриц методом ЛеверрьеФаддеева. 7

2 Приложение 10
2.1 Структурная схема алгоритма метода ЛеверрьеФаддеева. 10
2.2 Листинг программы на алгоритмическом языке "Pascal". 13
1 Собственные значения и собственные векторы.
Задачи нахождения собственных значений и соответствующих им
собственных векторов возникают в самых различных научных задачах.
Например, при анализе динамических систем собственные значения
определяют частоты колебаний, а собственные векторы характеризуют их
форму. В электрорадиотехнических устройствах собственные значения
матриц определяют характеристические постоянные времени и режимы
работы этих устройств.
1.1 Математическое обоснование метода.
Рассмотрим квадратную матрицу n -ого порядка
Собственные значения i квадратной матрицы A есть действительные или
комплексные числа, удовлетворяющие условию:
,
E – единичная матрица,
собственный вектор матрицы A , соответствующий некоторому
собственному значению .
Матрица называется характеристической матрицей матрицы A . Т.к. в
матрице по главной диагонали стоят , а все остальные элементы равны
нулю, то характеристическая матрица имеет вид
Определитель этой матрицы называется характеристическим определителем
и равен
В развернутом виде он является многочленом n -ой степени относительно
, т.к. при вычислении этого определителя произведение элементов
главной диагонали дает многочлен со старшим членом , т.е.
и называется характеристическим многочленом . Корни этого многочлена
– собственные значения или характеристические числа матрицы A .
Числа называются коэффициентами характеристического многочлена.
Ненулевой вектор называется собственным вектором матрицы A , если эта
матрица переводит вектор X в вектор
,
т.е. произведение матрицы A на вектор X и произведение
характеристического числа на вектор X есть один и тот же вектор.
Каждому собственному значению матрицы соответствует свой собственный
вектор .
Для определения координат собственного вектора составляется
характеристическое уравнение: . Переписав его в векторном виде и
выполнив умножение, получим систему линейных однородных уравнений
Определитель этой системы равен нулю, т.к. из этого условия были
определены собственные значения матрицы A .