Готовые Домашние Задания

Рефераты по теме Риторика

Реферат Абстрактная теория групп

Скачать реферат↓ [101.54 KB]



Текст реферата Абстрактная теория групп

Абстрактная теория групп
I. Понятие абстрактной группы.
1.Понятие алгебраической операции.
Говорят, что на множестве X определена алгебраическая операция (
) , если каждой упорядоченной паре элементов поставлен в
соотве
тствие некоторый элемент называемый их произведением.
Примеры.
1. Композиция перемещений на множествах является алгебраической
операцией.
2. Композиция подстановок является алгебраической операцией на
множестве всех подстановок степени n .
3. Алгебраическими операциями будут и обычные операции сложения,
вычитания и умножения на множествах соответственно целых, вещественных
и комплексных чисел. Операция деления не будет алгебраической
операцией на этих множествах, поскольку частное не определено при .
Однако на множествах , это будет алгебраическая операция.
4. Сложение векторов является алгебраической операцией на множестве .
5. Векторное произведение будет алгебраической операцией на множестве
.
6. Умножение матриц будет алгебраической операцией на множестве всех
квадратных матриц данного порядка.
2.Свойства алгебраических операций.
1. Операция (*) называется ассоциативной , если .
Это свойство выполняется во всех приведенных выше примерах, за
исключением операций вычитания ( и деления) и операции векторного
умножения векторов. Наличие свойства ассоциативности позволяет
определить произведение любого конечного множества элементов.
Например, если , . В частности можно определить степени с натуральным
показателем : . При этом имеют место обычные законы : , .
2. Операция ( *) называется коммутативной , если
В приведенных выше примерах операция коммутативна в примерах 3 и 4 и
не коммутативна в остальных случаях. Отметим, что для коммутативной
операции
3. Элемент называется нейтральным для алгебраической операции (*)
на множестве X , если . В примерах 1-6 нейтр
альными элементами
будут соответственно тождественное перемещение, тождественная
перестановка, числа 0 и 1 для сложения и умножения соответственно (для
вычитания нейтральный элемент отсутствует !) , нулевой вектор,
единичная матрица. Для векторного произведения нейтральный элемент
отсутствует. Отметим, что нейтральный элемент (если он существует)
определен однозначно. В самом деле, если нейтральные элементы, то .
Наличие нейтрального элемента позволяет определить степень с нулевым
показателем : .
4. Допустим, что для операции ( *) на X существует нейтральный
элемент. Элемент называется обратным для элемента , если .
Отметим, что по определению . Все перемещения
обратимы также как и
все подстановки. Относительно операции сложения все числа обратимы, а
относительно умножения обратимы все числа, кроме нуля. Обратимые
матрицы это в точности все матрицы с ненулевым определителем. Если
элемент x обратим, то определены степени с отрицательным показателем :
. Наконец, отметим, что если x и y обратимы, то элемент также обратим
и . (Сначала мы одеваем рубашку, а потом куртку ; раздеваемся же в
обратном